Чертежи
Математика
Информатика
Физика
Черчение
Итегралы
Архитектура ПК
Живопись

Термех

Задачи
Начертательная геометрия
Лекции
Инженерная графика
Типовой
Курсовая
На главную

Математика примеры решения задач контрольной работы

Вычисление интеграла ФНП.

Типовые задачи

Вычисление площади плоской фигуры

а) Площадь фигуры в декартовых координатах

ПРИМЕР 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  и .

Решение. В п. 2.5 приведена формула для вычисления площади подобной фигуры. Проектируем фигуру (см. рисунок) на ось  и вычисляем

.

Итак, площадь фигуры .

ПРИМЕР 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом .

Решение. Используем симметрию фигуры и вычислим площадь  части фигуры (в I квадранте):   Получаем

.

Итак, площадь эллипса .

Теория линейных уравнений.

Общие понятия.

 Опр. Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение, в которое неизвестная функция y(x) и её производные входят линейно, т.е. в первой степени:

.  (19)

 Если старший коэффициент q0 (x) отличен от нуля на интервале (a, b), т.е.  для , то, умножая (19) на , приводим уравнение к виду со старшим коэффициентом, равным 1:

  (20)

; дальше мы будем рассматривать уравнение (20).

 Если правая часть уравнения тождественно равна нулю на рассматриваемом интервале (f(x)=0 при ), то уравнение называется однородным. Таким образом, однородное уравнение - это уравнение вида

 . (21)

Задача Коши для уравнений (20) и (21) ставится также, как и для общего уравнения n-го порядка (17) : требуется найти решение уравнения (20) или (21), удовлетворяющее начальным условиям

  (22)

где y0, y1, y2, …, yn-1 - заданные числа. Для уравнения (17) теорема существования и единственности решения задачи Коши требовала непрерывности функции   и её производных ; если привести (20) к виду (17): ,

то . Таким образом, условия теоремы Коши приводят к необходимости непрерывности функций f(x) и pi(x), i = 1, 2, …, n. Далее, вывод теоремы Коши для уравнения (17) заключался в том, что найдётся окрестность точки x0, в которой существует однозначно определённое решение задачи Коши; для линейных уравнений (20) и (21) вывод более глобален: единственное решение существует на всём интервале (a, b), на котором выполняются условия теоремы:

 Геометрический смысл уравнения первого порядка. Уравнение (6) в каждой точке (x, y) области D, в которой задана функция f(x, y), определяет   - угловой коэффициент касательной к решению, проходящему через точку (x, y), т.е. направление, в котором проходит решение через эту точку. Говорят, что уравнение (6) задаёт в D поле направлений. График любого решения дифференциального уравнения (называемый также интегральной кривой) в любой своей точке касается этого поля, т.е. проходит в направлении, определяемом полем.

Сети

Задача
Математика
Интегралы
Атомная энергетика
Руководство
Конспекты