Чертежи
Математика
Информатика
Физика
Черчение
Итегралы
Архитектура ПК
Живопись

Термех

Задачи
Начертательная геометрия
Лекции
Инженерная графика
Типовой
Курсовая
На главную

Математика примеры решения задач контрольной работы

Вычисление интеграла ФНП.

Типовые задачи

Вычисление объема тела

Пусть в пространстве задано тело, проекцией которого на ось  является отрезок  и при любом , , известно значение площади "поперечного" сечения тела плоскостью  . Тогда объем этого тела можно получить, переходя от интегральной суммы  к
интегралу .

Здесь , ,  – разбиение  отрезка  на частичные отрезки  с длинами , ,  – произвольно выбираемые точки на

Представим на рисунке область  и выберем способ счета.
Поскольку переход к явному заданию границы фигуры затруднен,
а кроме того, есть комбинация переменных , то разумно
перейти к полярным координатам  Получим  или  – уравнение лемнискаты (см. в 7.7.1 пример 7). Используя симметрию фигуры, вычисляем площадь .

ПРИМЕР 5. Вычислить площадь фигуры , ограниченной кривыми , , ,  при .

Решение.

.

. .

k4 - 5 k2 = 0, k2 (k2 - 5) = 0, k1,2 = 0, , . Степень многочлена m = 3, число 0 является корнем характеристического уравнения кратности r = 2, поэтому yчн(x) ищем в виде yчн(x) = x2(Ax3 + Bx2 + Dx + E) = Ax5 + Bx4 + Dx3 + Ex2. Тогда

x3

x2

x

1

- 100A = 1;

 60B =0;

120A - 30D = -2;

24B - 10E = 0;

A = - 1/100;

B = 0;

D = 4A/5 + 2/30 = - 4/100 + 2/30 = 8/300 = 2/75;

E = 24B/10 = 0.

 

Если , то частное решение ищется в виде , если число  не является корнем характеристического уравнения, и в виде , если число  - корень характеристического уравнения кратности r. Rm(x) - многочлен степени m с неопределёнными коэффициентами.

Это правило следует из общего, если записать  в виде . В этом случае , поэтому .

 Геометрический смысл уравнения первого порядка. Уравнение (6) в каждой точке (x, y) области D, в которой задана функция f(x, y), определяет   - угловой коэффициент касательной к решению, проходящему через точку (x, y), т.е. направление, в котором проходит решение через эту точку. Говорят, что уравнение (6) задаёт в D поле направлений. График любого решения дифференциального уравнения (называемый также интегральной кривой) в любой своей точке касается этого поля, т.е. проходит в направлении, определяемом полем.

Сети

Задача
Математика
Интегралы
Атомная энергетика
Руководство
Конспекты