Операции с матрицами Задания для подготовки к практическому занятию

Физика
Живопись

Термех

Лекции
На главную

Матрицы и определители

Примеры.

Даны матрицы:

1. Какого размера матрица А? Перечислите ее элементы.

 Решение: В данной матрице 2 строки и 3 столбца, значит, это матрица размера 2´3.

Обратная матрица. Матричные уравнения. Системы линейных алгебраических уравнений.

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте §3,4 лекций и предложенные примеры. Ответьте письменно на вопросы и решите задачи.

Векторы

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте §5 лекций и предложенные примеры. Ответьте письменно на вопросы и решите задачи.

Примеры.

Даны точки: А(1;0), В(3;1), С(2;5)

1. Найти координаты векторов  .

Решение: Для того, чтобы найти координаты вектора, следует из координат конца вектора (вторая указанная в его названии точка) вычесть координаты начала (первая точка):

Аналитическая геометрия на плоскости

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте §6 лекций и предложенные примеры. Ответьте письменно на вопросы и решите задачи.

Примеры.

Даны точки: А(1;0), В(3;1), С(-2;5)

1. Написать уравнение прямой (АВ) и найти точки пересечения этой прямой с осями координат

Решение: Составим уравнение прямой с начальной точкой А(1;0) и направляющим вектором :

(АВ): .

Приведем уравнение к общему виду:

(АВ): x-2y-1=0

Предел последовательности

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте предложенные рассуждения и примеры. Ответьте письменно на вопросы и решите задачи.

Напомним для начала, что числовая последовательность – это бесконечный упорядоченный набор чисел. Члены последовательности можно пронумеровать, так что каждому натуральному значению n (1,2,3,…) соответствует член последовательности (а1, а2, а3,…). Таким образом, последовательность – это функция, заданная на множестве натуральных чисел. Задают последовательность чаще всего формулой общего члена. Например, если , то первые члены этой последовательности:

Понятие предела последовательности поясним пока на простых примерах:

Предел функции

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте предложенные рассуждения и примеры. Ответьте письменно на вопросы и решите задачи.

 Предел функции f(x) на бесконечности:  вычисляют так же, как предел последовательности, учитывая только, что х может стремиться к +¥ или к -¥.  Если предел функции при х®+¥ или х®-¥ существует и конечен, это

значит, что у графика функции имеется горизонтальная асимптота. Например, график функции  имеет асимптоту у=0 при х®±¥, а график функции y=arctgx – асимптоту  при х®+¥ и  при х®-¥.

 Предел функции f(x) в точке a: – это (говоря упрощенно) число, к которому стремится значение функции, если ее аргумент стремится к а. Если функция непрерывна в точке а, это значит, что ее предел в этой точке равен ее значению: . Поэтому первым действием при вычислении предела функции является подстановка значения аргумента. Если при этом получилось конкретное число или бесконечность – это и есть искомый предел.

Производная функции

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте предложенные рассуждения и примеры. Ответьте письменно на вопросы и решите задачи.

Определение производной функции, ее геометрический и физический смысл, ее свойства подробно описаны в §13 лекций. Займемся непосредственно вычислением производных, для чего используем сводную таблицу формул дифференцирования. Вторая часть таблицы, в которой приведены производные основных элементарных функций, записана для сложных функций вида f(u), u=u(x). При этом следует помнить, что .

Примеры.

Вычислить производные функций:

Дифференциал функции

Пример. Дана функция . Найти ее первый дифференциал dy

Решение: Воспользуемся формулой первого дифференциала.

. Таким образом, .

2. Производные и дифференциалы высших порядков

Пример. Дана функция Найти

Решение: Воспользуемся формулой второго дифференциала: . Для того. Чтобы найти вторую производную , продифференцируем данную функцию последовательно дважды:

 ;

.

Таким образом,

задачи

Выполнить, если возможно, действия с матрицами:

Неопределенный интеграл. Табличное интегрирование.

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте лекции §16 и §17.1 и приведенные ниже примеры. Ответьте письменно на вопросы и решите задачи.

Выучите основную таблицу интегралов.

Примеры

1. Проверьте, верно ли найден интеграл:

Решение. Произвольное постоянное слагаемое С – непременный атрибут любого неопределенного интеграла. Чтобы проверить, верно ли найдена первообразная функция в правой части данного равенства, следует найти ее производную:

Замена переменной; интегрирование по частям

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте §17.2, 17.3 лекций и предложенные рассуждения и примеры. Решите задачи.

При вычислении любого неопределенного интеграла следует ответить для себя на следующие вопросы:

- является ли интеграл табличным? Может быть, он отличается от табличного лишь линейной заменой?

- если нет, может ли интеграл быть упрощен, то есть можно ли представить подынтегральную функцию в виде суммы (в этом случае каждое из слагаемых интегрируется отдельно, начиная с первого вопроса)?

- если нет, имеет ли смысл пользоваться внесением под знак дифференциала? (впрочем, если вы не уверенно пользуетесь этим методом, этот вопрос можно опустить)

 Если на все три вопроса ответ отрицательный, стоит попробовать сделать замену переменной (подстановку). Обычно при выборе подстановки удобно бывает руководствоваться принципами:

Замена переменной и интегрирование по частям (продолжение)

Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте §18.1 лекций и предложенные рассуждения, ответьте на вопросы и решите задачи

Итак, для вычисления неопределенного интеграла необходимо свести его к табличному, выбирая для этого на каждом шаге одно из трех действий:

- упрощение (разложение на слагаемые),

- замену переменной (включая сюда и внесение под дифференциал),

- интегрирование по частям.

Примеры

 - табличный интеграл (вынести )

Интегрирование рациональных функций

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте §18.2 лекций и предложенные рассуждения. Ответьте на вопросы и решите задачи.

 Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь (многочлен в числителе, многочлен в знаменателе), обычно нужно ее упростить (как вы помните, это значит – представить в виде суммы).

Если дробь неправильная, то есть степень числителя не меньше степени знаменателя, следует числитель разделить на знаменатель, выделив целую часть.

Пример . Вычислить .

Так как дробь неправильная, выделим целую часть. Делить будем в столбик, примерно так, как делят числа: так, чтобы все время уничтожалась наивысшая степень делимого, для этого каждый раз элемент частного получается делением старшей степени делимого на старшую степень делителя:

Интегрирование тригонометрических выражений

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте §18.3 лекций. Отметьте для себя или выпишите применяемые тригонометрические формулы. Обратите внимание на приведенные примеры. Ответьте на вопросы и решите задачи

С тригонометрическими интегралами мы уже встречались ранее. Их особенностью, пожалуй, можно считать обилие тригонометрических формул, позволяющих преобразовывать подынтегральное выражение, что часто позволяет его упростить. Способов такого преобразования, как и способов замены переменной в тригонометрическом интеграле обычно много, но для некоторых типов интегралов известны стандартные действия, приводящие к ответу наиболее коротким путем. Их описанию и посвящен рассматриваемый параграф лекций. На наш взгляд, приведенный там материал достаточно прост и показателен, сделаем только два замечания:

- если подынтегральное выражение содержит tgx или ctgx, выразите эти функции через sinx и cosx.

- не волнуйтесь, если ваш ответ не совпал с ответом в учебнике: это может случиться, если вы выбрали другой способ решения интеграла, и скорее всего существует тригонометрическое преобразование, доказывающее тождественность двух форм ответа.

6. Интегрирование простейших иррациональных выражений

Определенные интегралы, несобственные интегралы

Задания для подготовки к практическому занятию

Вопросы и задачи

п1. Каков геометрический смысл определенного интеграла?

п2. Как вы думаете, существует ли ? Обоснуйте ответ.

п3. Вычислите определенные интегралы:

 а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

 е) ; ж) ; з) ; и); к)

Задачи к практическому занятию

Вычислить определенные интегралы:

Функции нескольких переменных

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте §22 лекций (обратите внимание на примеры!) и предложенный пример. Ответьте на вопросы и решите задачи.

Пример.

 Найти область определения функции

В данном случае на область определения функции накладываются ограничения из-за того, что аргумент логарифмической функции должен быть строго положителен: . Переписав это неравенство в виде  мы убеждаемся, что границей искомой области служит окружность  (с центром в начале координат, радиуса 3).

Окружность разбивает плоскость хОу на две части; несложно убедиться, что неравенству  отвечает внутренняя область, то есть круг с центром в начале координат радиуса 3 (без границы, т.к. неравенство строгое).

Двойной интеграл

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте § 23 лекций и предложенные рассуждения. Ответьте на вопросы и решите задачи

Отметим здесь, что при интегрировании функции z(x; y) по переменной х, так же как и при дифференцировании, считают y=const и пользуются обычными правилами вычисления интеграла. При этом пределы интегрирования могут зависеть от у (но не от х).

Точно так же можно интегрировать функцию по у в пределах, зависящих от х (или просто постоянных).

Примеры

1.

.

2.

Полученную при этом функцию можно далее интегрировать по второй переменной, в постоянных пределах:

ОДУ первого порядка.

Уравнения с разделяющимися переменными и однородные уравнения

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте лекции, §§24, 25.1,3,4 и предложенные примеры. Ответьте на вопросы и решите задачи

 

Примеры: Даны ОДУ 1-го порядка. Определить их тип (если возможно):

 а) ; б) ; в)

 г);

 д)

а) Запишем уравнение в дифференциальной ф

Линейные уравнения и уравнения Бернулли.

Уравнения в полных дифференциалах.

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте лекции, §25.5-7 и предложенные примеры. Ответьте на вопросы и решите задачи

Примеры: Даны ОДУ 1-го порядка. Определить их тип (если возможно):

 а); б); в) 

 г) ; д)

а) Уравнение дано в дифференциальной форме. Оно не является уравнением с разделяющимися переменными и однородным. Представим его в нормальной форме, разрешив относительно . Это линейное уравнение (относительно у), в котором .

б) Легко видеть, что уравнение не является уравнением с разделяющимися переменными и однородным.

ОДУ высших порядков.

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте лекции, §26.1, 27.1-5. Ответьте на вопросы и выполните задания.

п1. Для данных неоднородных линейных уравнений выписать соответствующие однородные линейные уравнения и составить характеристические уравнения:

 а) ; б) ; в)

п2. По данным характеристическим уравнениям составить однородные линейные уравнения: 

 а) ; б) ; в)

Задачи к практическому занятию

Подбор частного решения для линейного уравнения с правой частью специального вида

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте лекции, §27.6. Ответьте на вопросы и выполните задания.

п1. Для каждого из данных неоднородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами выпишите правую часть и определите, является ли она функцией специального вида. Если да, выпишите значения параметров a,b, k:

 а) ; б) ; в) ;

 г) ; д) ; е)

Задачи к практическому занятию

Задание 1.

1) Найти модуль и аргумент чисел  и . Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

2) Найти: а). ; б). ; в).

Решение.

1) Изобразим числа на комплексной плоскости. При этом числу  будет соответствовать точка , числу  - точка .

Для нахождения модуля и аргумента заданных чисел воспользуемся формулами:

Задание 3. Указать область дифференцируемости функции  и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Решение.

Выделим действительную и мнимую часть функции :

Таким образом, получим:

Найдем частные производные  и выясним, в окрестности каких точек они существуют и непрерывны, а также в каких точках плоскости выполняются условия Коши-Римана:

Задание 5. Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами:

 а).

 б).

а). Искомым множеством является пересечение кольца  и внутренней части угла :

б). Кривую  запишем в декартовых координатах:

Итак, .

Или ,

 - Лемниската Бернулли.

Неравенство  определяет точки, лежащие на лемнискате и внутри ее. Неравенство  определяет точки, лежащие правее прямой Искомым множеством является пересечение этих областей:

Задание 7. Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции  область :  плоскости .

Решение.

Для того чтобы найти образ области  при отображении , нужно найти образ границы  области , затем взять произвольную точку из области  и найти ее образ.

Правило для определения уравнения образа кривой.

Пусть в области  кривая задана . Чтобы найти уравнение образа  этой кривой в плоскости  при отображении с помощью функции , нужно исключить  и  из уравнений:

Полученное разложение содержит только правильную часть ряда Лорана.

2) Рассмотрим кольцо . В этой области запишем рассматриваемую функцию в виде . В знаменателях дробей мы записали выражения вида , где .

Так как , то  и в силу формулы (1) . Так как , то, как и в предыдущем случае, .

Следовательно, ==.

Полученное разложение содержит и правильную, и главную часть ряда Лорана.

3) Рассмотрим область . В этой области , поэтому в силу формулы (1) .

Решение.

а). Особой точкой функции является точка . Чтобы определить вид особой точки разложим функцию в ряд Лорана по степеням :

Главная часть ряда Лорана содержит конечное число слагаемых, значит  - полюс. Порядок высшей отрицательной степени  определяет порядок полюса. Следовательно,  - полюс кратности 2. Вычет найдем, используя формулу , тогда .

б). Особой точкой функции является точка . Чтобы определить вид особой точки используем признак поведения функции в особой точке.

, значит   устранимая точка и, следовательно .

Задание 11. Вычислить интегралы от функции комплексного переменного:

а) , где   - отрезок прямой, , .

б) , где   - ломаная, , , .

в) , где   - дуга окружности , .

г) , где   - отрезок прямой , соединяющий точки  и ,  и .

Решение.

а) Так как подынтегральная функция  аналитична всюду, то можно воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница: =.

б) Подынтегральная функция  определена и непрерывна всюду, ломаная  представляет собой кусочно-гладкую кривую, поэтому искомый интеграл сводится к вычислению двух криволинейных интегралов по координатам по формуле:

.

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах:

а) ;

б) .

Решение.

а). Подынтегральная функция имеет внутри контура интегрирования две особые точки  и . Тогда .

Определим вид особых точек и найдем в них вычеты.

, следовательно

а) Сформулируем правило, позволяющее вычислять несобственные интегралы от рациональной функции действительного переменного с помощью теории функций комплексного переменного:

Пусть  - рациональная функция, , где  и  - многочлены степени  и  соответственно. Если функция  непрерывна на всей действительной оси и , т.е. степень знаменателя по крайней мере на две единицы больше степени числителя, то

где  означает сумму вычетов функции  по всем полюсам, расположенным в верхней полуплоскости.

Так как подынтегральная функция  четная, то =. Построим функцию , которая на действительной оси (при ) совпадает с подынтегральной функцией . Особые точки функции  - это точки  и . Из них в верхней полуплоскости находится точка , которая является полюсом второго порядка. Вычет функции  относительно полюса  равен =. Так как в верхней полуплоскости только одна особая точка, то . Следовательно, =.

б) Сформулируем правило, позволяющее вычислить рассматриваемый несобственный интеграл с помощью теории функций комплексного переменного:

Пусть  - рациональная функция, , где  и  - многочлены степени  и  соответственно. Если функция  непрерывна на всей действительной оси, ,  - произвольное действительное число, то

;

ЗАДАНИЕ 5. Изменить порядок интегрирования в интеграле

.

РЕШЕНИЕ.

 Восстановим область интегрирования () по пределам повторных интегралов: =1È2,

(1): ;

(2): 

Изобразим область интегрирования на чертеже. Найдем точки пересечения параболы  и прямой :  т.е. точкам пересечения кривых соответствуют точки, для которых  и . Вертикальной штриховкой покажем порядок интегрирования: сначала по y при фиксированном x.  Сменим штриховку на горизонтальную. Из рисунка видно, что данная область является -трапецией.

ЗАДАНИЕ 7. Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями.

 Приведем решение двух задач на вычисление объемов тел, рассматривая тела с различной геометрией поверхности.

1) ,

2)   .

РЕШЕНИЕ.

 1). Тело  ограничено двумя поверхностями: параболоидом   и плоскостью . Изобразим это тело на чертеже (рис.75).

Замечание. При построении следует преобразовать уравнение направляющей цилиндра , лежащей в плоскости  к каноническому виду (прибавляя и вычитая 2): , откуда получим , то есть направляющей цилиндра в плоскости  служит окружность с центром в точке  радиуса . Кроме того, при построении следует учесть, что поверхность параболоида пересекается с плоскостью  по окружности . Тело  является z-цилиндрическим брусом, проектирующимся на плоскость  в область (), являющуюся -трапецией.

Нетрудно убедиться, что и здесь, как и в предыдущем случае, повторный интеграл, записанный в декартовой системе координат, при вычислении требует значительных усилий; поэтому и в этом случае перейдем к цилиндрической системе координат (см. предыдущую задачу):

.

Найдем уравнения поверхностей, ограничивающих тело, в цилиндрической системе координат: уравнение цилиндра  перейдет в , уравнение параболоида  – в , плоскости  – в . Область (), являющаяся проекцией тела на плоскость , ограничена окружностью   и окружностью  (так как ). Найдем значения параметра , соответствующие точкам пересечения этих окружностей: , откуда  и для  получим два значения: . Учитывая симметрию тела  относительно плоскости , объем  запишем в виде следующего повторного интеграла:

Чтобы тройной интеграл записать в виде повторного, перейдем в уравнениях ограничивающих тело поверхностей к сферическим координатам. Следует использовать соотношения

.

Уравнение  переходит в , уравнение   в ; для уравнения конуса  получим последовательно: ,   и , откуда  и ; уравнение плоскости  переходит в уравнение , уравнение плоскости  в , т.е. в . Таким образом,

.

 Так как подынтегральная функция представляет собой произведение функций, каждая из которых зависит только от одной переменной, а пределы интегрирования постоянны, то повторный интеграл представляет собой просто произведение трех интегралов

ЗАДАНИЕ 9. Найти массу пластинки

(): ,

Плотность массы пластинки 

РЕШЕНИЕ.

 Область () – это часть эллиптического кольца (на рис.78 область () заштрихована). Массу плоской области можно вычислить по формуле

.

Подставляя заданную плотность  в двойной интеграл, для массы получим

.

Рис.78

 Очевидно, что область () не является ни -, ни - трапецией; при вычислении двойного интеграла в декартовой системе координат область () пришлось бы разбить на три области. Как для областей, заключенных между концентрическими окружностями с центром в начале координат “родной” является полярная система координат, так и для эллиптических колец “своей “ является эллиптическая система координат (обобщенная полярная система координат)

Цилиндрический брус проектируется на плоскость  в криволинейную трапецию (D): 0 x 1, 0 y . Преобразуем тройной интеграл в повторный и вычислим его:

=

=[ замена переменных  ]=

Замечание. В цилиндрической системе координат вычисления упрощаются:

ЗАДАНИЕ 11. Вычислить криволинейный интеграл

по формуле Грина; замкнутый контур () складывается из двух кривых:  и  (см. рис. 80).

ЗАДАНИЕ 12. Вычислить массу дуги кривой () при заданной плотности :

1)  

2) (.

3) (.

РЕШЕНИЕ.

1) Рассматривается случай параметрического задания кривой (). Массу плоской кривой можно вычислить с помощью криволинейного интеграла первого рода: . Для вычисления его нужно свести к определенному интегралу от функции одной переменной по отрезку по формуле:

.

РЕШЕНИЕ.

Работа силы по перемещению материальной точки единичной массы есть линейный интеграл вдоль дуги  от точки  до точки 

.

Последний интеграл есть криволинейный интеграл второго рода по пространственной кривой . Его вычисление сводится к вычислению определенного интеграла, для чего кривую  надо представить в параметрической форме (условием задачи кривая  задана в виде линии пересечения поверхности кругового цилиндра  с плоскостью , см. рис.81).

ЗАДАНИЕ 16. Вычислить расходимость (дивергенцию) и вихрь (ротор) в произвольной точке , а также найти уравнения векторных линий поля градиентов скалярного поля .

РЕШЕНИЕ.

1. По заданному скалярному полю  построим поле его градиентов

.

Дивергенция (расходимость) векторного поля  в декартовой системе координат вычисляется по формуле

ЗАДАНИЕ 20. Убедиться в потенциальности поля вектора

,

найти потенциал  поля и вычислить работу этого поля при перемещении точки единичной массы от точки  до точки .

РЕШЕНИЕ.

Для поля , заданного в односвязной области, критерием потенциальности служит равенство нулю вихря этого поля. Вычислим:

, т.е. поле потенциально. Восстановим потенциал поля. Это можно сделать по формуле

f ¢(0)=. В понятии предела сама точка x0=0 не рассматривается, поэтому берем f(x)= . При вычислении пределов в задачах под номером 12 необходимо использование эквивалентных бесконечно малых при x0. Напоминаем их:

 x ~ sin x ~ arcsin x ~ tg x ~ arctg x ~ ln(1+x) ~ ex 1; loga(1+x) ~ x loga e = x / lna;

ax 1 ~ x lna; (1+x)1 ~ xпри любом действительном ; 1 cos x ~ x2/2.

В нашем случае x sin=0 произведение бесконечно малой на ограниченную поэтому  arctg(x sin) ~ (x sin) и

 ~ arctg(x sin),

так как y= arctg(x sin) – бесконечно малая приx0 и

 = 1 = (1+y)1 ~ (1/2)y.

Применяя полученные результаты, вычисляем предел

или по одной из аналогичных ей пяти формул, отражающих движение от точки  к точке   вдоль отрезков, параллельных осям координат, по той, которая упрощает вычисление интегралов. По приведенной выше формуле получим

Другой подход к решению задачи  использование логарифмической производной. Приведём и такое решение: ln y = ln2cosx· ln(sin x3); дифференцируем обе части равенства по переменной x:

·y ¢=.

Для нахождения y¢ умножим полученное равенство на y=.

Ответ. y¢=.

ЗАДАНИЕ 16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить в этой точке y¢¢xx:

РЕШЕНИЕ.

Дифференцируем левую часть уравнения по переменной x, рассматривая её как сложную функцию x·e y(x)  y(x)·ex + x. Сложная функция тождественно равна нулю, а потому равна нулю и её производная:

e y+ x·e y· y¢ y¢·ex  y·ex+1=0.

Решаем это уравнение относительно производной y¢x: y¢x = . Для нахождения y¢¢xx дифференцируем полученное равенство, снова рассматривая его правую часть как сложную функцию от x

ЗАДАНИЯ 19-20. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

19) ; 20) (ln2cos x·ln sin x3).

РЕШЕНИЯ.

19) . Имеет место неопределённость (). Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределённостей (0/0) или (¥¥). Поэтому сначала логарифмированием сведём заданную неопределённость к одной из указанных двух:

==

использована непрерывность функции экспонента: переставлены знаки функции и предела. Запишем выражение в скобках в виде дроби; получится неопределённость (0/0).

Напоминаем формулировку правила Лопиталя: если существует предел конечный или бесконечный, то

а) существует и предел ;

б) эти два предела одинаковы естественно, функции f(x) и g(x) должны быть дифференцируемы в окрестности точки x0 всюду, кроме, возможно, самой точки x0 , точка x0 в понятии предела не рассматривается; производная функции g(x) не должна равняться нулю.

ЗАДАНИЕ 21. Многочлен f(x)=3x4  22x3 + 60x2  73x + 39 по степеням x представить в виде многочлена по степеням (x  2).

РЕШЕНИЕ.

Известно, что для дифференцируемой 4 раза в точке x0 функции f(x) существует лишь один многочлен, приближающий её в окрестности этой точки с точностью до слагаемого о((x  x0)4)  это многочлен Тейлора обозначим его : f(x) = + о((x  x0)4). В случае, когда сама f(x) является многочленом 4-й степени, получим f(x) = , то есть о((x  x0)4) = 0. Поэтому коэффициенты искомого многочлена можно найти с помощью формулы Тейлора

=

= f(x0) + f ¢(x0)( x  x0) +( x  x0)2 +( x  x0)3 +( x  x0)4.

В нашем случае x0=2. Вычисляем f(x0) и производные функции f(x) в точках x и x0: f(2) = 5; f ¢( x) = 12 x3  66 x2 + 120 x 73, f ¢(2) = 1;

f ¢¢( x) = 36x2  132x + 120, f ¢¢(2) = 0; f ¢¢¢( x) = 72x  132, f ¢¢¢(2) = 12;

( x) = 72, (2) = 72.

Ответ. f(x)= 5  ( x  2) + 2( x  2)3 + 3( x  2)4.

ЗАДАНИЕ 23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: f(x)=  ln2x, x0 =1.

РЕШЕНИЕ. Применяем формулу Тейлора см. задание 22.

f(1) = 1; f ¢( x) = 2(x1)  2 lnx ×, f ¢(1) = 0;

f ¢¢( x) = 2+ 4(x  1)2+(lnx1), f ¢¢(1) = 0;

f ¢¢¢( x) = 12(x  1)+ 8(x  1)3(lnx1) + , f ¢¢¢(1) = 6.

f(x)= 1 + ( x  1)3 +о((x1)3).

Укажем ещё один путь к получению той же формулы: путь, использующий стандартные формулы Маклорена для основных элементарных функций. Выполним замену переменной: x  1= t. Тогда функция f(x) =  ln2x преобразуется в функцию g(t) =  ln2(1+t), а значению x = 1 будет соответствовать значение t = 0. Нам понадобятся формулы 

= 1+ t + + o(t2) ; ln(1+t) = t  + o(t2).

В первую из этих формул сделаем подстановку t2 вместо t, а вторую формулу возведём в квадрат:

ЗАДАНИЕ 25. Найти асимптоты и построить эскизы графиков функций:

а) y=ln+2; б) y=; в) y=.

ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ. Вспомним определение асимптоты при x®¥: это прямая y=kx+b, для которой (f(x)  (kx + b)) = 0. Числа k и b можно найти по формулам k =; b =(f(x)  kx). Асимптота горизонтальна k=0 тогда и только тогда, когда существует конечный предел f(x), это и будет число b. Аналогично определяется асимптота при x®¥. Прямая x = a называется вертикальной асимптотой, если f(x) является бесконечно большой при x® a, то есть если f(x) =¥, и односторонней вертикальной асимптотой, если f(x) =¥ или f(x) =¥.

РЕШЕНИЯ.

а) y=ln+2. Область определения функции: x¥,1)(3,+¥). Функция является элементарной составлена из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических действий и подстановок одной функции в другую. Отсюда следует, что функция непрерывна в каждой точке области определения.

Исследуем поведение функции при x®10 и при x®3+0  то есть в полуокрестностях граничных точек области определения:

ЗАДАНИЕ 26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график:

а) y = ; б) y = (x 1); в) y =.

ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ. План полного исследования поведения функции может быть, например, таким:

Область определения.

Чётность , нечётность, периодичность.

Непрерывность. Поведение в окрестности точек разрыва и у границ области определения. Вертикальные асимптоты.

Асимптотическое поведение при x®¥. Наклонные или горизонтальные асимптоты.

Интервалы монотонности, экстремумы.

Интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика.

Точки пересечения с осями координат.

б) y = (x 1). Область определения: x¥ ,1)  (1,+¥ ). Чётность, нечётность, периодичность отсутствуют. Функция непрерывна всюду, кроме точки x = 1. Для выяснения поведения функции в окрестности точки разрыва вычислим односторонние пределы:

 = ¥= +¥ ;

(x 1)= 2e- ¥ = 20 = 0,

(x 1)= 2e+ ¥ = 2+) = ¥.

Делаем вывод о наличии односторонней вертикальной асимптоты x = 1. Переходим к изучению поведения функции при x®¥.

(x 1) = ¥e0 = &

Алгебра матриц

В этой главе, прежде всего, строится матричное исчисление. На множестве матриц, определяемых как таблицы вещественных чисел, вводятся операции (сложения, умножения, умножения на число, транспонирования и обращения) и изучаются свойства этих операций. Выясняется, что наряду со свойствами операций, наследуемыми матрицами у вещественных чисел, у них появляются и новые свойства, которыми вещественные числа не обладают. Например, умножение матриц оказывается некоммутативным.

После этого обсуждается проблема разложения матрицы на простейшие. Оказывается, что любую матрицу единственным образом можно представить в виде суммы матриц, каждая из которых обладает только одним ненулевым элементом. Представление матрицы в виде произведения простейших является более сложным и нуждается в построении специального аппарата элементарных матриц, оправдывающего себя в последующих разделах курса.

Принцип равенства

Две действительные матрицы  и  называются равными (записывается ), если они имеют одинаковые размеры, т.е. числа строк и столбцов у этих матриц совпадают, и на одинаковых местах в этих матрицах стоят одинаковые элементы.

Формализуем это определение: пусть

.

Тогда

 ,

где  и  некоторые натуральные числа.

Сложение матриц

Операция сложения определена лишь для матриц одинакового размера. Именно, пусть ,

Суммой матриц  и  называется матрица

 (1.2)

О сложении матриц говорят также, что оно осуществляется поэлементно. Как уже отмечалось выше, в процессе изучения алгебры матриц мы будем пользоваться упрощенными обозначениями  и т.д., не указывая всякий раз множества возможных значений индексов  и , поскольку эти значения будут ясны из контекста. Например, следующее определение суммы матриц эквивалентно вышеприведенному определению.

5) Операции сложения и транспонирования матриц связаны формулой

 

1.5 Умножение матрицы на число

Пусть матрица  имеет вид (1.1), . Произведением матрицы  на число  называется матрица

Скалярное умножение арифметических векторов

1.7 Умножение матриц

1.6 Скалярное умножение арифметических векторов

Пусть

 

Умножение матриц

Пусть . Для того чтобы, существовало произведение   необходимо выполнение условия согласования , т.е. число столбцов матрицы  должно совпадать с числом строк матрицы  (или порядок строк матрицы  должен совпадать с порядком столбцов матрицы ). Если условие согласования выполнено, т.е.

тогда произведение  определено формулой

,

т.е. если , тогда

– элемент, стоящий в -ой строке и -ом столбце матрицы  равен скалярному произведению -ого столбца матрицы  (или транспонированной -ой строки матрицы ) на -ый столбец матрицы .

Рассмотрим основные свойства умножения матриц.

1) Если , тогда .

 ◄ Это свойство вытекает из определения произведения матриц. ►

2) Умножение матриц, вообще говоря, некоммутативно, т.е. .

 ◄ Прежде всего заметим, что произведение  и  не всегда существуют одновременно, как это видно из примера 2. Если  и  существуют одновременно, т.е. , тогда , , т.е. при  матрицы  и  разного порядка и, следовательно, несравнимы. Но даже если  и, следовательно,  и  одного порядка, равенство , вообще говоря, не выполняется. Например,

. ►

Реакция произведения матриц на операцию транспонирования выражается формулой

 (1.10)

 ◄ Пусть , тогда , , т.е. левая и правая части равенства (1.10) существуют и имеют одинаковые порядки. Далее

 

 

 . ►

7) Рассмотрим множество квадратных матриц следующего вида:

Теория делимости квадратных матриц

 1.9* Основные типы алгебраических структур

 1.10 Элементарные преобразования над матрицами

 и элементарные матрицы

1.8 Теория делимости квадратных матриц

 Предложение 1.1. Если матрица  является истинным делителем нуля, тогда она необратима.

 ◄ Пусть матрица  и существует такая матрица , , что  или . Тогда матрица  не может быть обратимой. Действительно, если предположить существование такой матрицы , что

,

тогда умножая обе части равенства  на матрицу  справа (или обе части равенства  на матрицу  слева), получаем, что

 

и аналогично в случае . ►

 Справедливо и обратное утверждение.

Предложение 1.2. Если матрица  отлична от нуль-матрицы и не является истинным делителем нуля, тогда она обратима.

Доказательство этого утверждения будет приведено позже в «Лекции V».

Основные типы алгебраических структур.

 Пусть  и  два произвольных непустых множества. Декартовым произведением  этих множеств называется множество всевозможных упорядоченных пар вида , где . При этом две пары  и , где , считаются равными, если . Если , тогда множество  называется декартовым квадратом множества .

 Пусть . Внутренним законом композиции на множестве   называется произвольное отображение декартова квадрата во множество . Внутренний закон композиции на множестве  каждой паре  элементов множества  ставит в соответствие определенный элемент множества , который принято обозначать в виде сочетания трёх символов: элементов  и некоторого знака их соединяющего и одновременно позволяющего отличать друг от друга различные законы композиции, например,

 

,

 и т.д.

 Простейшими примерами внутренних законов композиции на множестве  являются арифметические операции сложения, вычитания и умножения действительных чисел, которые паре действительных чисел  ставят в соответствие их сумму, разность и произведение,

.

 Введенное выше поэлементное сложение матриц является внутренним законом композиции на множестве , а умножение матриц – внутренним законом композиции на множестве .

◄ Очевидно, что определенное выше поэлементное сложение матриц является внутренним законом композиции на множестве , а аксиомы абелевой группы являются следствием свойств 1) – 4) сложения матриц. ►

 Если на множестве  определены два внутренних закона композиции, которые записываются как сложение и умножение и обладают свойствами:

 1) сложение определяет на  структуру абелевой группы;

 2) ;

 3)  для любых  из ,

тогда говорят, что на множестве  задана структура кольца. Если при этом по умножению существует единица, это кольцо называется кольцом с единицей, а если операция умножения коммутативна, кольцо называется коммутативным.

1.10 Элементарные преобразования над матрицами и элементарные матрицы

 Элементарные преобразования над матрицами бывают только трёх типов:

 1) перемена местами двух строк или столбцов; обозначения –   или  соответственно;

 2) умножение строки или столбца на число, отличное от нуля; обозначения –  или  соответственно, ;

 3) добавление к какой-либо строке или столбцу другой строки или столбца, умноженных на произвольное число ; обозначения –  или  соответственно (элементарное преобразование этого типа называется трансвекцией).

Свойства элементарных преобразований.

 1) Одно элементарное преобразование первого типа эквивалентно четырем элементарным преобразованиям второго и третьего типов.

 ◄ Пусть в матрице  нужно поменять местами, например, строки  и . Следующая цепочка элементарных преобразований второго и третьего типов приводит к результату

. ►

 2) Элементарные преобразования обратимы, а обратные им преобразования являются элементарными преобразованиями того же самого типа, т.е. если матрица  получена из матрицы  с помощью элементарного преобразования, тогда матрица  может быть получена из матрицы  с помощью элементарного преобразования того же самого типа.

Эквивалентные матрицы

1.12* Отношение эквивалентности

1.11 Эквивалентные матрицы

Нашей ближайшей целью является доказательство того, что любая матрица с помощью элементарных преобразований может быть приведена к некоторым стандартным видам. На этом пути полезным является язык эквивалентных матриц.

Пусть . Будем говорить, что матрица  л‑эквивалентна (п‑эквивалентна или эквивалентна) матрице  и обозначать  ( или ), если матрица  может быть получена из матрицы  с помощью конечного числа строчных (соответственно столбцовых или строчных и столбцовых) элементарных преобразований. Ясно, что л‑эквивалентные и п‑эквивалентные матрицы являются эквивалентными.

Предложение 1.3 Для любой матрицы  существует л‑эквивалентная ей матрица приведённого вида.

 ◄ Во-первых, любую ненулевую строку матрицы , с помощью строчных элементарных преобразований можно сделать приведённой, т.е. если , тогда найдется конечное число строчных элементарных преобразований, применив которые к матрице , мы получим матрицу , строка которой  имеет приведённый вид.

 Действительно, если матрица  имеет вид (1.1) и , то после проведения в ней элементарных преобразований

 (1.20)

получаем матрицу

Пример 7. Построить матрицу  приведённого вида, л‑эквивалентную матрице

.

 ◄ Начиная с первой строки, указывая на каждом шаге серию проводимых элементарных преобразований, получаем

. ►

Среди всех матриц размера  выделим множество диагональных матриц , где , у которых

Матрицу  удобно записывать в так называемом блочном виде

Отношение эквивалентности.

 Пусть  – непустое множество произвольной природы и   – его декартов квадрат. Бинарным отношением на множестве  называется произвольное непустое подмножество   в . бинарное отношение на множестве   можно определить указанием всех пар , принадлежащих , говоря при этом, что элементы  и  из множества  находятся в отношении . Поскольку это не всегда удобно (например, если множество  бесконечно), то высказывание “” заменяется специальными высказываниями, зависящими от контекста, например,

.

которые читаются соответственно как “ больше ”, “ равно ”, “ влечёт ”, “ эквивалентно

 Бинарное отношение  на множестве называется отношением эквивалентности на множестве , если оно удовлетворяет условиям:

 1)  для любого ,

 2) если , тогда ,

 3) если  и , тогда .

Для отношения эквивалентности принято обозначение . Условия 1)‑3), называемые аксиомами отношения эквивалентности, в этом обозначении выглядят так:

Разложение матрицы в произведение простейших

Матричные уравнения

Разложение матрицы в произведение простейших

 Пусть  – некоторые матрицы. Введём следующее обозначение, предполагая при этом, что произведение в правой части существует,

.

Предложение 1.5. Любую ненулевую матрицу из  можно представить в виде произведения

, (1.22)

где , – элементарные матрицы порядка , – элементарные матрицы порядка , и матрица  имеет вид (1.21).

 ◄ В силу предложения 1.4 существует конечное число строчных и столбцовых элементарных преобразований, приводящих матрицу   к виду . Так как проведение одного строчного элементарного преобразования в матрице  равносильно умножению этой матрицы слева на некоторую элементарную  матрицу порядка , а проведение в  одного столбцового элементарного преобразования равносильно умножению матрицы  справа на некоторую элементарную матрицу  порядка , получаем матричное равенство

Предложение 1.6. (1-й критерий обратимости матрицы). Для того, чтобы матрица  была обратимой, необходимо и достаточно, чтобы она была представима в виде произведения элементарных матриц.

Достаточность. Элементарные матрицы обратимы, а произведение обратимых матриц есть матрица обратимая. Поэтому утверждение “матрица, представимая в виде произведения элементарных матриц, обратима” очевидно.

 Необходимость. Пусть матрица  обратима. Покажем, что она представима в виде произведения элементарных матриц. Прежде всего заметим, что в силу предложения 1.5 справедливо равенство (1.22), где все матрицы, входящие в это равенство, квадратные и имеют одинаковый порядок, например, . Наше утверждение будет верно, если мы покажем, что . В самом деле, матрицы

Матричные уравнения

 Уравнение, называется матричным, если в качестве неизвестного оно содержит матрицу. Простейшие матричные уравнения имеют вид

, (1.24)

, (1.25)

, (1.26)

где  – известные матрицы, а  – неизвестные матрицы соответствующих размеров. В общем случае уравнения (1.24)-(1.26) эквивалентны некоторым системам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), но в том частном случае, когда матрицы  и  обратимы, теория этих уравнений проста. Прежде чем изложить её отметим, что числовая матрица  является решением уравнения (1.24), если при подстановке её в это уравнение вместо матрицы  мы получаем верное матричное равенство (и аналогично для уравнений (1.25) и (1.26)).

 Предложение 1.8. Пусть матрицы  и  обратимы, тогда уравнения (1.24)-(1.26) разрешимы при любых правых частях  соответственно, а их единственные решения определяются по формулам

Упражнения

 1. Выяснить, какие из следующих матриц равны

.

 2. Написать матрицу, транспонированную данным:

.

 3. Если матрица  имеет вид

,

то каков вид матрицы ?

 4. Матрицы  и  имеют вид:

При вычислении сложных матричных выражений целесообразно продумать порядок действий, так как от этого зависит объём вычислений.

 Пример 10. Найти матрицу , если

.

 ◄ Матрица  существует, так как порядки сомножителей согласованны

,

и имеем порядок . Благодаря свойству ассоциативности операции умножения матриц последовательность её вычисления может быть различной, например,  или .

 Напомним, что при вычислении произведения двух матриц используется скалярное умножение двух арифметических векторов порядка . Будем называть это скалярное умножение «простым», если , и – «сложным», если  (сокращённо ПСУ и ССУ). Посчитаем количества ПСУ и ССУ, которые необходимо совершить, чтобы вычислить матрицу   указанными выше способами.

Преимущество первого способа над вторым очевидно. Но есть ещё один порядок умножения, позволяющий сократить объём вычислений. Именно, .

 В самом деле,

1) – 3 ССУ

2)  – 2 ССУ

3)  – 8 ПСУ.

 Всего: 5 ССУ и 8 ПСУ.

 Анализ трёх рассмотренных способов вычисления матрицы   позволяет дать рекомендацию: при вычислении матричных произведений с числом сомножителей больше 2-х целесообразно начинать вычисление произведений с наименьшим числом столбцов у правого сомножителя, и заканчивать вычислением произведений с наибольшим числом столбцов у правого сомножителя. ►

Часто сложное матричное выражение можно до его вычисления привести к более простому виду, используя свойства операций над матрицами.

 Пример 12. Найти матрицу

,

если

 ◄ Заметив, что

,

где

,

получаем, что

. ►

 9. Найти матрицу , если:

 а) ;

 б) .

 10. Найти матрицу , если:

 а) ;

 б) ;

 в) .

 11. Найти матрицу , если

.

 12. Найти матрицу , если:

 а) ;

 б) .

 Введём обозначение для степени матрицы

,

И заметим, что ввиду некоммутативности операции умножения матриц

.

Из условия согласования следует, что степень матрицы определена только для квадратных матриц, а степень произведения  определена для матриц прямоугольного вида. При этом число строк матрицы  должно совпадать с числом столбцов матрицы .

При вычислении степеней матриц и матричных выражений следует попытаться среди малых степеней  найти максимально простую матрицу с тем, чтобы использовать её для упрощения вычисления матрицы .

Пример 15. Разложить матрицу  в произведение простейших. Выяснить, является ли матрица  обратимой, и в случае её обратимости найти матрицу , если

.

 ◄ Решение основано на предложении 1.6 (см. пример 9). Приводим элементарными преобразованиями матрицу  к виду ,

.

 Матрица  обратима и удовлетворяет соотношению

.

Умножая полученное равенство справа на матрицу

,

 получаем, что

.

Теперь умножаем новое равенство на матрицу

 20. Матрицы из упражнения 19 разложить в произведение простейших.

 21. Выяснить, является ли матрица  обратимой, и в случае её обратимости найти матрицу . Матрица   имеет вид:

 а) , б) , в) .

Замечание. В следующей главе, основываясь на данном методе обращения матриц, мы построим более эффективную вычислительную схему для нахождения обратной матрицы, связанную с методом Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.

Решение. Поделив каждое слагаемое числителя подынтегральной дроби на знаменатель, и используя, что интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций, получим:

.

Сети

Интегралы