Чертежи
Математика
Информатика
Физика
Черчение
Итегралы
Архитектура ПК
Живопись

Термех

Задачи
Начертательная геометрия
Лекции
Инженерная графика
Типовой
Курсовая
На главную

Криволинейный интеграл первого рода

Пусть на плоскости хОу расположена кривая MN, гладкая (касательная к кривой непрерывно изменяется вдоль кривой) или кусочно-гладкая (составленная из гладких участков). Функция z =f(х,y) определена и ограничена на кривой MN. Составляется интегральная сумма:

где n - число частичных кривых, на которые разделена кривая MN; (хi;yi) - некоторая точка, взятая на i -ой частичной кривой; Δli- длина i-ой частичной кривой, i=1,2,…n.

Предел интегральной суммы (22) при условии, что все длины Δli →0 (n→∞) называется криволинейным интегралом первого рода от функции f(х, у) по кривой MN и обозначается как

где MN - линия интегрирования; dl - дифференциал длины дуги.

Другое название интеграла (23) - криволинейный интеграл от функции f (х, у) по длине дуги MN.

Кривая MN может быть замкнутой линией L. Для обозначения криволинейного интеграла в этом случае используют символ 

Основные свойства и приложения криволинейного интеграла первого рода

1. Линейные свойства:

2.Если линия L состоит из частей L1 и L2, то

3. При изменении направления интегрирования криволинейный интеграл не изменяет своего значения, т.е. если под MN и NM понимать разнонаправленные линии, то

4. Это свойство характерно только для криволинейного интеграла 1-го рода, ввиду того, что dl > 0 при любом движении вдоль кривой MN.

С помощью криволинейных интегралов 1-го рода можно вычислять следующие геометрические и физические величины:

1) длина кривой MN

2) Если кривая MN - материальная с распределённой плотностью , то

а) масса кривой

б) координаты центра тяжести

в) моменты инерции кривой относительно осей координат и начала координат

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ 4

Вычислить с помощью тройного интеграла обьём тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать рисунок данного тела и его проекции на плоскость хОу.

Примечания к построению рисунка тела. Плоскость в пространстве задаётся общим уравнением  вида

Ах + By + Cz + D = 0. Если D=0, то плоскость проходит через начало координат. Если равен нулю один из коэффициентов А,В.С, то плоскость параллельна оси отсутствующей переменной. Если два коэффициента из трёх (А, В, С) равны нулю, то плоскость параллельна координатной плоскости, проходящей через оси отсутствующих переменных.

Если уравнение поверхности не содержит одну из трёх независимых переменных, это является признаком того, что поверхность - цилиндрическая, с образующей, параллельной оси отсутствующей переменной. Заданное уравнение при этом -уравнение направляющей линии.

Уравнение сферы радиусом R с центром в начале координат имеет вид:

Рис.12 Область V и её проекция D к примеру выполнения задания 4,а

Векторный анализ. Элементы теории векторного поля", а также ссылки на теоретический материал, необходимый для выполнения этих контрольных работ и список рекомендуемой литературы. В результате изучения этих тем студенты должны: o знать определения основных понятий теории дифференциального исчисления функций нескольких переменных (ФНП): частные производные, полный дифференциал и др

Сети

Интегралы