Чертежи
Математика
Информатика
Физика
Черчение
Итегралы
Архитектура ПК
Живопись

Термех

Задачи
Начертательная геометрия
Лекции
Инженерная графика
Типовой
Курсовая
На главную

Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах

Цилиндрические координаты точки в пространстве - это ее полярные координаты в XOY и координата Z.

Связь между декартовыми и цилиндрическими координатами:

Перевод тройного интеграла к цилиндрическим координатам и сведение к повторному трехкратному интегралу осуществляется следующим образом:

Пример 12

Найти момент инерции по оси z площади поверхности, которая лежит ниже параболоида , внутри цилиндра , над плоскостью Оxy и имеет формулу распределения плотности .

Решение

По формуле момента инерции получим:

Уравнение области внутри цилиндра переведем в цилиндрические координаты. Получаем:

Пример 13

Вычислить , где

Решение

Теорема 1 о переходе к сферическим координатам

Пусть - непрерывно дифференцируемые и пусть - непрерывная на функция. Тогда

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Область D называется правильной относительно оси Ох, если прямая, параллельная этой оси, проходящая через внутреннюю точку области D, пересекает границу области в двух точках. Аналогично определяется правильная область относительно оси Оу.

  Рисунок 2. Рисунок 3.

 

Рисунок 2 - Область, правильная, относительно оси Оу Рисунок 3 - Область, правильная, относительно оси Ох

 

Область D, правильную относительно как Ох, так и Оу, называют просто правильной областью.

Если область D - правильная относительно Оу (рисунок 2), двойной интеграл вычисляется по формуле:

 

Правую часть формулы (8) называют повторным (двукратным) интегралом. Вычисление повторного  интеграла начинаем с вычисления внутреннего интеграла.

в  котором переменную х надо принять при интегрировании за постоянную величину. После  подстановки пределов интегрирования в первообразную получаем некоторую функцию, зависящую от х, которую затем интегрируем на отрезке [a,b].

Если область D является правильной относительно оси Ох (рисунок 3), двойной интеграл вычисляется по формуле:

Если область D - просто правильная, можно применять как формулу (8), так и формулу (9). При этом переход от одной формулы к другой называют изменением порядка интегрирования.

Сам процесс перехода от двойного интеграла к повторному и расстановка пределов интегрирования для внешнего и внутреннего интегралов называют приведением двойного интеграла к повторному.

иметь представление об основных поверхностях 2-го порядка, уметь составлять уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности; o знать основные понятия теории скалярного поля и уметь определять его основные характеристики: линии уровня, градиент, производную по направлению

Сети

Интегралы